Trasformatore monofase: prova a vuoto

Scopo della prova a vuoto

La prova a vuoto di un trasformatore monofase è una tipica esperienza di laboratorio utile per identificare ed isolare le perdite dovute al nucleo magnetico della macchina. Essa si svolge fornendo al trasformatore una tensione sul lato primario coincidente alla tensione nominale indicata sui dati di targa e non collegando ad esso alcun carico.  Ciò significa che il trasformatore non erogherà sul lato secondario nessuna corrente (I₂ = 0A), e di conseguenza le perdite per effetto Joule sono trascurabili: nel primario circola solo la piccola corrente a vuoto I₀ e la potenza R₁·I₀² è una frazione minima della potenza assorbita (nell’esempio seguente, anche ipotizzando R₁ = 10 Ω, si avrebbe 10 · 0,196² ≈ 0,38 W, circa il 3% di P₀). Di conseguenza, l’unico fattore che concorre a perdere potenza tra l’ingresso e l’uscita sono le perdite dovute ai fenomeni magnetici.

Circuito equivalente a vuoto

Partendo dal modello reale possiamo adattare lo schema come segue. Essendo la corrente dell’avvolgimento secondario nulla anche la corrente I₂‘ sarà nulla, e di conseguenza per il principio  di Kirchhoff I₁ coincide con I₀.

Perdite nel ferro: isteresi e correnti parassite

Per comprendere le perdite nel ferro durante la prova a vuoto di un trasformatore è utile esaminare i fenomeni magnetici che si verificano nel nucleo. Le perdite nel ferro, infatti, si suddividono principalmente in due componenti:

Perdite per isteresi magnetica: Queste perdite sono dovute all’attrito microscopico che si verifica tra i domini magnetici del materiale ferroso del nucleo, che devono continuamente riallinearsi seguendo la variazione di direzione del campo magnetico alternato. Ogni ciclo di magnetizzazione provoca un consumo energetico che viene dissipato sotto forma di calore. Le perdite per isteresi sono direttamente proporzionali alla frequenza della tensione applicata e dipendono anche dalle caratteristiche del materiale magnetico del nucleo (ad esempio, i nuclei in lamierino di acciaio al silicio tendono a minimizzare queste perdite).

Perdite per correnti parassite (o correnti di Foucault): Quando il campo magnetico alternato attraversa il nucleo, si genera un campo elettrico che induce a sua volta correnti all’interno del materiale ferroso. Queste correnti, dette parassite o di Foucault, circolano in percorsi chiusi all’interno del nucleo, generando ulteriori perdite per effetto Joule. Per ridurre tali perdite, il nucleo viene realizzato in lamierini sottili isolati elettricamente tra di loro, che impediscono alle correnti parassite di svilupparsi lungo tutto il volume del nucleo.

Tornando allo schema proposto si può ora precisare che la corrente a vuoto I₀ si divide in due componenti, che interessano la conduttanza G₀ e la suscettanza B₀.

La conduttanza G₀​ rappresenta la componente attiva della corrente a vuoto, associata alle perdite nel ferro complessive. La suscettanza B₀ rappresenta la componente reattiva della corrente necessaria alla magnetizzazione del nucleo.

La conduttanza G₀ si può definire come il rapporto tra la potenza attiva a vuoto P₀ e il quadrato della tensione primaria nominale V_1n, invece, la suscettanza B₀ si può definire come il rapporto tra la potenza reattiva Q₀ e il quadrato della tensione primaria nominale V_1n. Insieme formano l’ammettenza Y₀.

Forma vettoriale:

\(\bar{Y_{0}}=G_{0}-jB_{0}\)

Modulo:

\(Y_{0}=\sqrt{G_{0}^{2}+B_{0}^{2}}\)

Fase (angolo φ₀ di ritardo della corrente a vuoto rispetto alla tensione):

\(\varphi_{0} = arctg\left (\frac{B_{0}}{G_{0}}\right )\)

Esempio numerico di prova a vuoto

Procediamo quindi con un esempio pratico basato su di un trasformatore monofase abbassatore con potenza apparente S pari a 300 VA e tensione nominale di targa primario / secondario di 220 V / 24 V. La prova descritta è stata eseguita alla tensione di rete disponibile, 230 V, e tutti i calcoli seguenti si riferiscono a questo valore.

Attraverso due multimetri è stato possibile effettuare una misura volt-amperometrica e con un wattmetro è stato possibile analizzare la potenza attiva assorbita dal trasformatore a vuoto. Con potenze così basse (P₀ = 12 W) l’autoconsumo della voltmetrica del wattmetro e del voltmetro può non essere del tutto trascurabile: per misure accurate va stimato e sottratto dalla lettura.
I valori misurati alla tensione di prova U₁ = 230 V (circa il 4,5% in più della tensione nominale di targa di 220 V) sono (durante la prova si misura anche la tensione secondaria a vuoto V₂₀, da cui si ricava il rapporto di trasformazione k = V₁/V₂₀):

• I0 = 196 [mA]
• U1 = 230 [V] (tensione di prova)
• P = 12 [W]

da cui è possibile ottenere la potenza apparente.

\(S_{0} = U_{1}* I_{0} = 230 * 0,196 = 45,08 [VA] \)

Alla tensione di prova si è rilevata potenza attiva P₀ pari a 12W pertanto, avendo appena calcolato anche la potenza apparente, è possibile isolare la conduttanza G, la suscettanza B e l’ammettenza Y:

\(G_{0} = \frac{P_{0}}{U_{1}^{2}} = \frac{12}{230^{2}} = 0,227 [mS]\)

e

\(B_{0} = \frac{Q_{0}}{U_{1}^{2}} = \frac{\sqrt{S_{0}^{2}-P_{0}^{2}}}{U_{1}^{2}} = \frac{\sqrt{45,08^{2}-12^{2}}}{230^{2}} = \frac{43,45}{230^{2}} = 0,821 [mS]\)

quindi:

\(\bar{Y_{0}}=G_{0}-jB_{0}= (0,227 – j 0,821) [mS]\)

Il fattore di potenza a vuoto vale:

\(\cos\varphi_{0} = \frac{P_{0}}{S_{0}} = \frac{12}{45,08} \approx 0,27 \qquad \varphi_{0} \approx 74,6^{\circ}\)

Il valore basso è tipico della prova a vuoto: la corrente assorbita è in gran parte reattiva, cioè serve a magnetizzare il nucleo.

Per quanto riguarda le perdite nel ferro P_FE esse sono coincidenti alla potenza attiva misurata (quindi P_FE = 12 W alla tensione di prova di 230 V; poiché le perdite nel ferro crescono all’incirca con il quadrato della tensione, alla tensione nominale di 220 V sarebbero indicativamente inferiori di circa l’8-9%, e anche la corrente magnetizzante risulterebbe più bassa) e sono frutto della sommatoria tra le perdite per correnti parassite (P_cp) e le perdite per isteresi magnetica (P_hm).

P_FE = P_cp  + P_hm 

Per calcolare separatamente le perdite per correnti parassite (P_cp) e le perdite per isteresi magnetica (P_hm), sono necessari dati specifici riguardo il materiale ferromagnetico del nucleo del trasformatore, non sempre disponibili.

Dati che servirebbero per calcolare P_cp e P_hm​ :

Proprietà del materiale del nucleo:

• • Perdite per correnti parassite (P_cp): dipendono dalla resistenza del materiale e dalla sua conduttività elettrica. Le perdite per correnti parassite sono influenzate dalla frequenza della corrente e dalla geometria del nucleo. 
  • Perdite per isteresi (P_hm): dipendono dalla curva di isteresi magnetica del materiale, che descrive la relazione tra il campo magnetico e la magnetizzazione. L’induzione B e il campo magnetico H nel nucleo percorrono un ciclo completo a ogni periodo della tensione di alimentazione.

Geometria e dimensioni del nucleo:

Le perdite per correnti parassite dipendono dalle dimensioni fisiche del nucleo, come la sezione trasversale e la lunghezza del percorso magnetico. Inoltre, la frequenza di alimentazione e lo spessore dei lamierini (se il nucleo è lamellare) sono parametri cruciali per determinare le perdite per correnti parassite.

Frequenza operativa:

La frequenza di alimentazione del trasformatore, che generalmente è 50 Hz o 60 Hz, è fondamentale per calcolare la potenza persa a causa delle correnti parassite: la forza elettromotrice indotta nel nucleo è proporzionale a f·B_max, e poiché la potenza dissipata cresce con il quadrato della f.e.m., le perdite per correnti parassite crescono con f².

Curva di isteresi:

La perdita per isteresi è data dall’area compresa tra il ciclo di magnetizzazione del nucleo del trasformatore (relazione tra B e H). La permeabilità relativa (μ) e il campo di coercitività sono parametri utili per stimare le perdite per isteresi.

Prova a vuoto su trasformatore trifase

Nel caso in cui si voglia procedere con la medesima analisi ma su un trasformatore trifase sarà necessario l’utilizzo di due wattmetri con inserizione Aron (l’inserzione Aron è valida per qualunque sistema trifase a tre fili senza neutro, anche squilibrato: a vuoto, infatti, un trasformatore trifase a colonne assorbe correnti leggermente diverse sulle tre fasi a causa della colonna centrale). Poiché a vuoto il fattore di potenza è basso (cosφ₀ < 0,5), uno dei due wattmetri indica un valore negativo: la potenza totale è la somma algebrica delle due letture. Conviene inoltre usare wattmetri a basso fattore di potenza, più precisi con correnti fortemente sfasate.

Formule delle perdite nel ferro e separazione delle perdite

Di seguito si riportano le relazioni classiche per il calcolo approssimativo delle perdite per correnti parassite (P_cp) e delle perdite per isteresi magnetica (P_hm).

Perdite per correnti parassite (P_cp):

Tramite la seguente relazione è possibile identificare in modo approssimato la quota di potenza persa per correnti parassite:

\(P_{cp} =K_{cp}\cdot f^{2}\cdot B_{max}^{2}\cdot s^{2}\cdot V_{nucleo}\)

Dove K_cp è una costante che dipende dal materiale (in particolare è inversamente proporzionale alla sua resistività elettrica ρ) ma non dalla frequenza, f indica la frequenza di alimentazione, B_max l’induzione magnetica massima nel nucleo, s lo spessore del lamierino e V_nucleo il volume del nucleo. Per lamierini sottili la costante si può esplicitare e la relazione diventa:

\(P_{cp} =\frac{\pi^{2}\cdot f^{2}\cdot B_{max}^{2}\cdot s^{2}}{6\cdot \rho}\cdot V_{nucleo}\)

Si vede così perché il nucleo è realizzato con lamierini sottili (s piccolo) in acciaio al silicio (ρ elevata).

Perdite per isteresi magnetica (P_hm):

Tramite la seguente relazione è possibile identificare in modo approssimato la quota di potenza persa per isteresi magnetica:

\(P_{hm} =K_{hm}\cdot f\cdot B_{max}^{n}\cdot V_{nucleo}\)

Dove K_hm è una costante empirica che dipende dalle proprietà magnetiche del materiale, come la permeabilità magnetica e la curva di isteresi del materiale ferromagnetico. Essa misura l’intensità delle perdite da isteresi e dipende dalle caratteristiche specifiche del materiale utilizzato nel nucleo del trasformatore. Invece f indica la frequenza di funzionamento, B_max l’induzione magnetica massima nel nucleo, n l’esponente di Steinmetz (tipicamente compreso tra 1,6 e 2 a seconda del materiale e dell’induzione) e V_nucleo il volume del nucleo.

Per scindere le due componenti di perdita con le sole formule occorre quindi conoscere molti parametri del materiale, spesso non disponibili. Nella pratica di laboratorio si ricorre invece alla prova a due frequenze: si ripete la prova a vuoto a due frequenze f₁ e f₂ mantenendo costante il rapporto V/f, in modo che l’induzione massima B_max resti la stessa. In queste condizioni le perdite per isteresi sono proporzionali a f e quelle per correnti parassite a f², quindi:

\(\frac{P_{FE}}{f}=a+b\cdot f\)

Dalle due misure si ricavano le costanti

\(b=\frac{P_{2}/f_{2}-P_{1}/f_{1}}{f_{2}-f_{1}} \qquad a=\frac{P_{1}}{f_{1}}-b\cdot f_{1}\)

e alla frequenza nominale f le due componenti valgono P_hm = a·f e P_cp = b·f². In alternativa si utilizzano le curve di perdita specifica (W/kg) fornite dal costruttore dei lamierini. Non esiste invece una ripartizione percentuale valida in generale: nei lamierini al silicio a 50 Hz le perdite per isteresi sono spesso la quota prevalente.

Articoli collegati

• Trasformatore: introduzione
• Alimentazione AC: potenza attiva, reattiva e apparente
• Motore asincrono trifase