Teoremi di Thevenin e Norton: enunciato, procedimento ed esercizi svolti

Come ridurre qualsiasi rete lineare a un generatore con una resistenza: calcolo di VTh, RTh e IN, tre esercizi verificati con Millman e Kirchhoff, massimo trasferimento di potenza e casi pratici.

Admin | MST-Tutorial3 ore faAggiornato il: 1 Novembre 2026

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Teoremi di Thevenin e Norton: enunciato, procedimento ed esercizi svolti

Quando si studia un circuito capita spesso di essere interessati a una sola parte della rete: la tensione e la corrente su un carico, su un ingresso di un convertitore A/D, sulla lampadina collegata a una batteria. Risolvere ogni volta l’intera rete con il metodo di Kirchhoff è possibile ma laborioso, soprattutto se il carico cambia valore e si vogliono confrontare più casi. Il teorema di Thevenin e il suo duale, il teorema di Norton, risolvono proprio questo problema: tutto ciò che sta “dietro” a due morsetti, per quanto complicato, si comporta verso l’esterno come un solo generatore con una sola resistenza.

In questa guida vedremo gli enunciati dei due teoremi, la loro equivalenza, una procedura passo passo per calcolare tensione, corrente e resistenza equivalente (compreso il metodo della tensione a vuoto e della corrente di cortocircuito e un cenno ai generatori dipendenti), tre esercizi svolti con verifica incrociata tramite il teorema di Millman, il massimo trasferimento di potenza, l’estensione alla corrente alternata e alcune applicazioni pratiche, dalla resistenza interna di una batteria all’impedenza di uscita di un partitore.

Enunciato del teorema di Thevenin

Consideriamo una rete lineare (resistori, generatori ideali di tensione e di corrente, eventualmente generatori dipendenti lineari) di cui ci interessano soltanto due morsetti, che chiameremo A e B. Il teorema di Thevenin afferma che:

Una qualsiasi rete lineare vista da due morsetti A e B è equivalente a un generatore ideale di tensione V_Th in serie a una resistenza R_Th.

V_Th (tensione equivalente di Thevenin) è la tensione U_AB che si misura tra i morsetti a vuoto, cioè con il carico scollegato.
R_Th (resistenza equivalente) è la resistenza vista dai morsetti A e B quando tutti i generatori indipendenti della rete sono spenti (o “passivati”).

L’equivalenza vale solo verso l’esterno: qualunque carico collegato tra A e B ha la stessa tensione ai capi e assorbe la stessa corrente sia con la rete originale sia con il suo equivalente. Non vale invece per ciò che accade dentro la rete: la potenza dissipata nella resistenza R_Th, per esempio, in generale non coincide con quella dissipata nei resistori reali. Il risultato fu pubblicato da Léon Charles Thévenin nel 1883, ma era già stato ricavato da Hermann von Helmholtz nel 1853; per questo nei testi di lingua tedesca si parla anche di teorema di Helmholtz-Thevenin.

Una volta noti V_Th e R_Th, la tensione su un carico R_L si ottiene con un semplice partitore:

\(U_{AB} = V_{Th}\,\frac{R_L}{R_{Th}+R_L} \qquad I_L = \frac{V_{Th}}{R_{Th}+R_L}\)

Enunciato del teorema di Norton ed equivalenza

Il teorema di Norton è il duale del precedente. Pubblicato quasi contemporaneamente da Edward L. Norton (Bell Laboratories) e da Hans F. Mayer nel 1926, afferma che:

Una qualsiasi rete lineare vista da due morsetti A e B è equivalente a un generatore ideale di corrente I_N in parallelo a una resistenza R_N.

I_N è la corrente che circola nei morsetti A e B chiusi in cortocircuito (I_cc).
R_N si calcola esattamente come R_Th: è la stessa resistenza, R_N = R_Th.

I due equivalenti descrivono la stessa rete, quindi devono dare la stessa tensione a vuoto e la stessa corrente di cortocircuito. Imponendo queste due condizioni si ottengono le relazioni di passaggio da un modello all’altro:

\(I_N = \frac{V_{Th}}{R_{Th}} \qquad V_{Th} = I_N\,R_{Th} \qquad R_N = R_{Th}\)

È la stessa trasformazione tra generatore reale di tensione e generatore reale di corrente che si usa per semplificare le reti un pezzo alla volta. Nel teorema di Millman, ad esempio, il termine E·G di ciascun ramo è proprio la corrente di Norton di quel ramo: per questo i due argomenti si richiamano continuamente. La scelta tra Thevenin e Norton è una questione di comodità: Thevenin è più naturale quando i carichi sono in serie, Norton quando sono in parallelo o quando la rete contiene già generatori di corrente.

Procedura passo passo

Il calcolo dell’equivalente segue sempre gli stessi passaggi. Conviene tenerli come una checklist:

PROCEDURA PER L'EQUIVALENTE DI THEVENIN / NORTON
1. Individua i morsetti A e B e scollega il carico (la parte di rete che NON vuoi semplificare).
2. Calcola V_Th = U_AB a vuoto, con qualsiasi metodo:
   partitore, Millman, Kirchhoff, sovrapposizione degli effetti.
3. Calcola R_Th spegnendo i generatori INDIPENDENTI:
   - generatore di tensione  -> sostituito da un CORTOCIRCUITO (E = 0)
   - generatore di corrente  -> sostituito da un CIRCUITO APERTO (I = 0)
   poi riduci serie e paralleli visti da A-B.
4. (In alternativa al punto 3) calcola I_cc chiudendo A-B in cortocircuito
   e ricava R_Th = V_Th / I_cc.
5. Disegna l'equivalente, ricollega il carico e calcola U_AB e I_L.
6. Verifica: almeno un risultato con un secondo metodo (Millman o Kirchhoff).

Calcolo di V_Th a vuoto

Con il carico scollegato la corrente nel morsetto A è nulla, quindi gli eventuali resistori in serie al morsetto non producono caduta di tensione. Per calcolare U_AB si può usare qualsiasi tecnica: nelle reti semplici basta un partitore, nelle reti a due nodi il teorema di Millman è il più rapido, nelle reti con più generatori è comodo il principio di sovrapposizione degli effetti, secondo il quale in una rete lineare la risposta complessiva è la somma delle risposte prodotte da ciascun generatore indipendente acceso da solo (con gli altri spenti secondo le stesse regole del punto 3).

Calcolo di R_Th con i generatori spenti

Spegnere un generatore significa annullarne la grandezza impressa: un generatore di tensione con E = 0 impone una differenza di potenziale nulla, cioè si comporta da cortocircuito; un generatore di corrente con I = 0 non lascia passare corrente, cioè si comporta da circuito aperto. Le resistenze interne dei generatori reali restano invece al loro posto. Una conseguenza importante: un resistore in serie a un generatore ideale di corrente, una volta aperto il generatore, resta sospeso e non contribuisce a R_Th, esattamente come non compare a denominatore nella formula di Millman.

Metodo della tensione a vuoto e della corrente di cortocircuito

Quando la riduzione serie/parallelo è scomoda, si calcolano V_Th a vuoto e I_cc con i morsetti in cortocircuito; il rapporto fornisce la resistenza equivalente:

\(R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{cc}} = \frac{V_{ca}}{I_{cc}}\)

La figura mostra i tre calcoli sulla rete dell’esercizio 2: a vuoto si ottiene V_Th, spegnendo i generatori si legge direttamente R_Th, cortocircuitando A e B si ottiene I_cc = I_N. I due percorsi per R_Th devono dare lo stesso valore, ed è un ottimo controllo.

Reti con generatori dipendenti: il generatore di prova

Se la rete contiene generatori dipendenti (pilotati da una tensione o da una corrente di un altro ramo, come nei modelli di transistor e amplificatori), questi non vanno mai spenti: la loro grandezza dipende dallo stato della rete. In questo caso R_Th si ricava in uno dei due modi seguenti:

con il rapporto V_ca/I_cc, se la rete contiene anche generatori indipendenti;
spegnendo i soli generatori indipendenti e applicando ai morsetti un generatore di prova V_p (o I_p): si calcola la corrente I_p che esso eroga e si pone R_Th = V_p/I_p.

Nell’esempio in figura un generatore di corrente dipendente assorbe una corrente k·I_x proporzionale a quella che attraversa R₁. Il generatore di prova deve fornire sia I_x sia k·I_x, quindi vede una resistenza (1 + k) volte più piccola di R₁: con R₁ = 1 kΩ e k = 4 si ottiene R_Th = 200 Ω, valore impossibile da ricavare con le sole riduzioni serie/parallelo. È lo stesso meccanismo per cui la retroazione abbassa l’impedenza di uscita di un inseguitore di tensione con op-amp.

Esercizio 1: partitore di tensione con carico

Un generatore E = 12 V alimenta un partitore formato da R₁ = 6 kΩ e R₂ = 3 kΩ; il carico R_L è collegato in parallelo a R₂, tra i morsetti A e B. Vogliamo sapere come cambia la tensione sul carico al variare di R_L.

ESERCIZIO 1 - dati: E = 12 V, R1 = 6 kΩ, R2 = 3 kΩ
V_Th  = E · R2 / (R1 + R2) = 12 · 3 / 9            = 4 V
R_Th  = R1 // R2 = 6 · 3 / (6 + 3)                 = 2 kΩ    (E cortocircuitato)
I_N   = V_Th / R_Th = 4 V / 2 kΩ                   = 2 mA    (= E / R1, corrente in A-B in corto)

Carico R_L = 2 kΩ  : U_AB = 4 · 2 / (2 + 2)  = 2,00 V   I_L = 1,00 mA
Carico R_L = 10 kΩ : U_AB = 4 · 10 / (2 + 10) = 3,33 V   I_L = 0,33 mA
Carico R_L = 1 kΩ  : U_AB = 4 · 1 / (2 + 1)  = 1,33 V   I_L = 1,33 mA

Verifica diretta (R_L = 2 kΩ): R2 // R_L = 1,2 kΩ -> U_AB = 12 · 1,2 / (6 + 1,2) = 2,00 V

Il risultato mostra bene il limite di un partitore usato come “alimentatore”: a vuoto fornisce 4 V, ma appena il carico è confrontabile con R_Th = 2 kΩ la tensione crolla. L’equivalente di Thevenin rende il fenomeno evidente con un solo numero, la resistenza di uscita del partitore, e permette di confrontare più carichi senza risolvere ogni volta la rete.

Esercizio 2: rete con due generatori e verifica con Millman e Kirchhoff

Due generatori reali, E₁ = 12 V con R₁ = 4 Ω ed E₂ = 6 V con R₂ = 2 Ω, entrambi con il polo positivo verso il nodo A, alimentano in parallelo un carico R_L = 2 Ω collegato tra A e B (lo schema dell’esercizio 2 del teorema di Millman, senza il generatore di corrente). Calcoliamo l’equivalente di Thevenin visto dal carico e verifichiamo il risultato con gli altri due metodi.

Tensione a vuoto con la sovrapposizione degli effetti

Con il carico scollegato restano due rami attivi tra A e B. Accendiamo un generatore alla volta, cortocircuitando l’altro:

Solo E1 (E2 in corto): U' = E1 · R2 / (R1 + R2) = 12 · 2 / 6 = 4 V
Solo E2 (E1 in corto): U" = E2 · R1 / (R1 + R2) =  6 · 4 / 6 = 4 V
V_Th = U' + U" = 8 V

Controllo con Millman a vuoto: V_Th = (12/4 + 6/2) / (1/4 + 1/2) = 6 / 0,75 = 8 V

Resistenza equivalente e corrente di Norton

R_Th = R1 // R2 = 4 · 2 / (4 + 2) = 1,333 Ω     (E1 ed E2 cortocircuitati)
I_cc = E1/R1 + E2/R2 = 3 A + 3 A  = 6 A         (A-B in corto)
R_Th = V_Th / I_cc  = 8 / 6       = 1,333 Ω     -> i due metodi coincidono

\(U_{AB} = V_{Th}\,\frac{R_L}{R_{Th}+R_L} = 8\cdot\frac{2}{1{,}333+2} = 4{,}8\ V \qquad I_L = \frac{4{,}8}{2} = 2{,}4\ A\)

Verifica incrociata

Con il carico collegato la rete ha due nodi e tre rami: il teorema di Millman fornisce direttamente la tensione tra A e B.

\(U_{AB}=\frac{12\cdot 0{,}25 + 6\cdot 0{,}5}{0{,}25+0{,}5+0{,}5}=\frac{6}{1{,}25}=4{,}8\ V\)

Con il metodo di Kirchhoff (una equazione al nodo A e due alle maglie, correnti I₁ e I₂ entranti in A dai generatori, I_L uscente verso il carico) si ottiene:

I1 + I2 = IL
12 - 4·I1 - 2·IL = 0
 6 - 2·I2 - 2·IL = 0
Soluzione: I1 = 1,8 A   I2 = 0,6 A   IL = 2,4 A   -> U_AB = 2 · 2,4 = 4,8 V

Bilancio delle potenze: generatori 12·1,8 + 6·0,6 = 25,2 W
                        resistori  4·1,8² + 2·0,6² + 2·2,4² = 12,96 + 0,72 + 11,52 = 25,2 W

I tre metodi danno lo stesso risultato. Si noti però la differenza di “costo”: Kirchhoff e Millman andrebbero ripetuti per ogni nuovo valore del carico, mentre con l’equivalente di Thevenin (8 V, 1,333 Ω) basta un partitore. Si noti anche che la potenza dissipata in R_Th (1,333 · 2,4² = 7,68 W) non coincide con quella dissipata in R₁ e R₂ (13,68 W): l’equivalenza vale solo verso il carico.

Esercizio 3: rete con generatore di corrente

Un generatore di corrente I_g = 3 mA, con in serie R₄ = 1 kΩ, alimenta il nodo C; tra C e massa c’è R₁ = 2 kΩ, da C al morsetto A c’è R₂ = 2 kΩ e tra A e B c’è R₃ = 4 kΩ. Cerchiamo l’equivalente di Thevenin e la tensione su un carico R_L = 2 kΩ.

ESERCIZIO 3 - dati: Ig = 3 mA, R1 = R2 = 2 kΩ, R3 = 4 kΩ, R4 = 1 kΩ
A vuoto: Ig si divide tra R1 e (R2 + R3)
  U_C  = Ig · [R1 // (R2 + R3)] = 3 mA · (2 · 6 / 8) kΩ = 3 mA · 1,5 kΩ = 4,5 V
  V_Th = U_C · R3 / (R2 + R3)   = 4,5 · 4 / 6                          = 3 V
R_Th (Ig APERTO, quindi R4 resta sospesa e non conta):
  R_Th = R3 // (R1 + R2) = 4 // 4                                       = 2 kΩ
Verifica con I_cc (A-B in corto, R3 cortocircuitata):
  I_cc = Ig · R1 / (R1 + R2) = 3 · 2 / 4 = 1,5 mA  -> R_Th = 3 V / 1,5 mA = 2 kΩ
Equivalente di Norton: I_N = 1,5 mA in parallelo a 2 kΩ
Carico R_L = 2 kΩ: U_AB = 3 · 2 / (2 + 2) = 1,5 V   I_L = 0,75 mA   P_L = 1,125 mW

La resistenza R₄ in serie al generatore di corrente non compare né in V_Th né in R_Th: un generatore ideale di corrente impone la sua corrente qualunque sia la resistenza in serie. Il risultato è confermato dall’analisi nodale della rete completa (con il carico collegato si ottengono U_C = 3,75 V e U_AB = 1,5 V). Esempi come questo sono adatti anche alla trasformazione successiva dei generatori: I_g con R₁ in parallelo equivale a un generatore da 6 V con 2 kΩ in serie; aggiungendo R₂ si ottengono 6 V con 4 kΩ, e il partitore con R₃ riporta a 3 V e 2 kΩ.

Massimo trasferimento di potenza

Una volta ridotta la rete a V_Th e R_Th, la potenza sul carico è una funzione della sola R_L:

\(P_L = R_L\,I_L^2 = \frac{V_{Th}^2\,R_L}{(R_{Th}+R_L)^2}\)

La funzione vale zero con il carico in cortocircuito (tensione nulla) e tende a zero con il carico aperto (corrente nulla); in mezzo ha un massimo, che si trova annullando la derivata rispetto a R_L. Il risultato è il teorema del massimo trasferimento di potenza:

\(R_L = R_{Th} \quad\Rightarrow\quad P_{L,max} = \frac{V_{Th}^2}{4\,R_{Th}}\)

Con i dati dell’esercizio 1 (V_Th = 4 V, R_Th = 2 kΩ) la potenza massima vale 16/8000 = 2 mW e si ottiene con R_L = 2 kΩ; nell’esercizio 3 il carico da 2 kΩ era già quello ottimo (1,125 mW = 3²/(4·2000)). Il grafico mostra la curva P(R_L), piuttosto piatta intorno al massimo, e il rendimento η = R_L/(R_Th + R_L), riferito alla potenza erogata dal solo generatore equivalente.

Nel punto di massimo il rendimento è soltanto del 50 %: metà della potenza si perde in R_Th. Per questo l’adattamento R_L = R_Th si cerca nei circuiti di segnale (antenne, linee, stadi audio e RF, sensori a bassa potenza), dove conta estrarre più potenza possibile da una sorgente debole, mentre nei circuiti di potenza (rete elettrica, batterie, alimentatori) si lavora con R_L molto maggiore di R_Th, per avere alto rendimento e tensione stabile.

Thevenin e Norton in corrente alternata

In regime sinusoidale i due teoremi valgono invariati sostituendo tensioni e correnti con i fasori e le resistenze con le impedenze (Z = R, Z = jωL, Z = 1/(jωC)), come già visto per Kirchhoff e Millman: l’equivalente è un generatore di tensione V̄_Th in serie a un’impedenza Z_Th, oppure un generatore di corrente Ī_N in parallelo alla stessa impedenza. L’equivalente vale alla frequenza per cui è stato calcolato.

Esempio breve: un generatore da 10 V efficaci a 1 kHz alimenta una cella RC passa-basso (R = 1 kΩ in serie, C = 100 nF verso massa, la stessa struttura dei filtri RC); i morsetti A e B sono ai capi del condensatore.

ESEMPIO AC - Vs = 10 V (efficaci), f = 1 kHz, R = 1 kΩ, C = 100 nF
Z_C  = 1 / (j·2π·1000·100e-9)          = -j 1591,5 Ω
V_Th = Vs · Z_C / (R + Z_C)            = 8,47 V ∠ -32,1°
Z_Th = R // Z_C = R·Z_C / (R + Z_C)    = (717 - j 450) Ω   (|Z_Th| = 847 Ω ∠ -32,1°)
Carico resistivo 1 kΩ: |U_AB| = 4,77 V ∠ -17,4°  (verificato anche risolvendo la rete completa)
Massima potenza: Z_L = Z_Th* = (717 + j 450) Ω  -> P_max = |V_Th|² / (4·Re Z_Th) = 25 mW

In alternata la condizione di massimo trasferimento diventa l’adattamento coniugato: l’impedenza del carico deve essere la complessa coniugata di Z_Th, così che le reattanze si compensino e resti solo la parte resistiva. Con un carico puramente resistivo la potenza massima si ottiene invece per R_L = |Z_Th| e risulta inferiore (circa 22,9 mW nell’esempio).

Applicazioni pratiche: batterie, partitori, impedenza di uscita

Il modello di una batteria

Il modello più semplice di una batteria è proprio un equivalente di Thevenin: una tensione a vuoto E₀ in serie alla resistenza interna R_i. Poiché il cortocircuito è da escludere, R_i si ricava misurando la tensione a vuoto e la tensione sotto un carico noto per un tempo breve (metodo del carico in continua, usato ad esempio con i tester a carico per batterie d’avviamento):

ESEMPIO DI CALCOLO (valori indicativi, batteria al piombo 12 V da avviamento)
Tensione a vuoto             E0 = 12,7 V
Tensione con carico da 50 A  U  = 12,2 V
Ri = (E0 - U) / I = 0,5 V / 50 A = 10 mΩ
Corrente di cortocircuito teorica = 12,7 V / 0,01 Ω = 1270 A   -> mai provarla!

Il modello spiega perché la tensione di una batteria scende durante l’avviamento del motore e perché una batteria invecchiata, con resistenza interna maggiore, non riesce più a erogare correnti elevate pur mostrando una tensione a vuoto normale. È un modello solo ohmico: non descrive gli effetti capacitivi e chimici che si manifestano con carichi prolungati o variabili. Per un esempio applicato vedi l’analisi di una batteria automotive.

Partitore che alimenta un carico

L’esercizio 1 è la situazione tipica di un partitore che riduce una tensione per un ingresso o una polarizzazione: la tensione a vuoto vale E·R₂/(R₁ + R₂), ma la sorgente “vista” dal carico ha resistenza R₁//R₂. La regola pratica è che l’errore resta trascurabile solo se la resistenza del carico è molto maggiore di R_Th (con un rapporto 100 l’errore è circa l’1 %). Lo stesso ragionamento vale per un partitore con fotoresistenza LDR letto da un microcontrollore: gli ingressi analogici dei microcontrollori AVR come l’ATmega328P sono ottimizzati per sorgenti con resistenza di uscita di circa 10 kΩ o meno, per caricare in tempo il condensatore di campionamento interno (vedi ingressi analogici di Arduino). La grandezza da confrontare con quel limite è proprio la R_Th del partitore, non la somma delle due resistenze.

Impedenza di uscita e di ingresso

Quando su un datasheet si legge “impedenza di uscita” di un alimentatore, di un generatore di funzioni (tipicamente 50 Ω) o di uno stadio amplificatore, si sta leggendo la R_Th (o Z_Th) dell’equivalente di Thevenin visto dall’uscita. Simmetricamente, l’impedenza di ingresso dello stadio successivo è il suo carico. Il rapporto tra le due determina quanta tensione si perde nel collegamento: per trasferire tensione si vuole impedenza di uscita bassa e impedenza di ingresso alta, ed è questo il ruolo dei buffer. Allo stesso modo, il multimetro in funzione voltmetro è un carico (tipicamente dell’ordine di 10 MΩ) collegato all’equivalente di Thevenin del punto misurato: su nodi ad alta resistenza la lettura risulta sottostimata.

Errori comuni

ERRORI COMUNI CON THEVENIN E NORTON
[ ] Calcolare V_Th con il carico ancora collegato: V_Th è la tensione A VUOTO.
[ ] Spegnere i generatori al contrario: tensione -> CORTOCIRCUITO, corrente -> APERTO.
[ ] Contare in R_Th un resistore in serie a un generatore ideale di corrente (va escluso).
[ ] Spegnere i generatori dipendenti: restano attivi; usare V_ca/I_cc o il generatore di prova.
[ ] Sbagliare la polarità di V_Th: il + del generatore equivalente va verso il morsetto
    che a vuoto è a potenziale più alto (se U_AB < 0 il generatore va invertito).
[ ] Usare l'equivalente per calcolare potenze o correnti DENTRO la rete: vale solo all'esterno.
[ ] Applicare i teoremi a componenti non lineari (diodi, LED, transistor in commutazione)
    senza linearizzarli: si può semplificare la parte lineare, non il componente non lineare.
[ ] Dimenticare che I_N = V_Th / R_Th: il verso di I_N è quello della corrente di cortocircuito
    che esce dal morsetto A.
[ ] In AC, usare un equivalente calcolato a una frequenza diversa da quella di lavoro.
[ ] Misurare I_cc cortocircuitando una batteria o un alimentatore reale.