Teorema di Millman: risoluzione delle reti lineari
Calcolare facilmente la tensione ai capi di un ramo nei circuiti a due nodi
Il teorema di Millman, applicabile solamente a circuiti lineari formati da due nodi, permette di calcolare la tensione ai capi del circuito. Studiando la dimostrazione di tale teorema, infatti, noteremo che si appoggia alle regole KCL e KVL del metodo Kirchhoff.
Dimostrazione con il metodo di Kirchhoff
Partiamo da uno schema generico ponendoci come obiettivo il calcolo della tensione tra i nodi A e B.
Nel nodo A possiamo scrivere l’equazione ai nodi (KCL) descritta del metodo Kirchhoff:
dove la corrente I3 del generatore di corrente è assunta uscente dal nodo A.
La corrente del ramo centrale (I2) è facilmente ricavabile dal rapporto:
\(I_2 = \frac{U_{AB}}{R3+R4}\)mentre la corrente del ramo di sinistra (I1) è calcolabile, grazie all’ausilio delle equazioni alle maglie del metodo Kirchhoff (KVL), con la relazione:
\(I_1 = \frac{E – U_{AB}}{R1+R2}\)A questo punto possiamo sostituire le equazioni appena ricavate nella prima equazione che abbiamo definito (ovvero quella ricavata tramite KCL):
\(\frac{E – U_{AB}}{R1+R2} = \frac{U_{AB}}{R3+R4} + I_3\)Sapendo che la conduttanza G è l’inverso della resistenza R (G = 1/R) possiamo definire la conduttanza G12 (formata dalla serie R1+R2):
\(G_{12} = \frac{1}{R1+R2}\)e la conduttanza G34, formata dalla serie R3+R4:
\(G_{34} = \frac{1}{R3+R4}\)Ora possiamo banalmente sostituire le conduttanze al posto delle serie di resistenze
\(G_{12}\cdot (E – U_{AB}) =U_{AB}\cdot G_{34} + I_3\)e riordinando l’equazione come segue
\(G_{12}U_{AB} + G_{34} U_{AB}= – I_3 + G_{12} E\)si può notare la possibilità di isolare UAB
\(U_{AB}(G_{12}+G_{34} )= – I_3 + E\cdot G_{12}\)ottenendo di fatto la relazione risolutiva del teorema di Millman.
\(U_{AB}=\frac{ E\cdot G_{12}- I_3}{G_{12}+G_{34}}\)L’equazione appena ricavata è specifica di questo schema, ma ci permette di notare che a numeratore sono presenti le correnti di cortocircuito di ogni ramo provvisto di generatore di tensione (E·G12) e le correnti imposte da eventuali generatori di corrente, mentre a denominatore si trova la somma aritmetica delle conduttanze dei rami.
Formula generale e convenzione dei segni
Pertanto è possibile generalizzare l’equazione come segue:
\(U_{AB}=\frac{ \sum_{k} (\pm E_{k}\cdot G_{k}) + \sum_{j} (\pm I_{j})}{\sum_{k} G_{k}}\)dove i termini vanno presi con il loro segno algebrico:
- Ek è positiva se il polo positivo del generatore è rivolto verso il nodo A (il generatore tende a spingere corrente nel nodo A), negativa nel caso opposto;
- Ij è positiva se la corrente del generatore entra nel nodo A, negativa se ne esce (come I3 nello schema precedente, da cui il segno meno);
- Gk è la conduttanza totale di ciascun ramo, cioè l’inverso della somma delle resistenze in serie nel ramo.
Rami con generatore di corrente
Un ramo che contiene un generatore ideale di corrente impone la propria corrente indipendentemente dalle resistenze che ha in serie: la sua conduttanza equivalente è nulla. Per questo le resistenze in serie a un generatore ideale di corrente non vanno incluse nella sommatoria a denominatore, e il ramo contribuisce solo con il termine ±Ij a numeratore. È uno degli errori più frequenti negli esercizi.
In regime sinusoidale la stessa formula si applica ai fasori, sostituendo le conduttanze G con le ammettenze Y = 1/Z dei rami (vedi alimentazione AC).
Esercizi svolti
Esercizio 1: solo generatori di tensione
Tra i nodi A e B sono collegati tre rami: il primo con E1 = 10 V e R1 = 5 Ω, il secondo con E2 = 20 V e R2 = 10 Ω (entrambi i generatori con il polo positivo verso A), il terzo con il solo carico R3 = 10 Ω. Le conduttanze sono G1 = 0,2 S, G2 = 0,1 S, G3 = 0,1 S:
\(U_{AB}=\frac{10\cdot 0.2 + 20\cdot 0.1}{0.2+0.1+0.1}=\frac{4}{0.4}=10\ V\)Le correnti di ramo (positive se entrano in A per i rami attivi, uscenti da A per il carico) valgono I1 = (10 − 10)/5 = 0 A, I2 = (20 − 10)/10 = 1 A e I3 = 10/10 = 1 A. Verifica con la KCL al nodo A: 0 + 1 = 1 A.
Esercizio 2: generatori di tensione e di corrente
Tra A e B sono collegati quattro rami: E1 = 12 V con R1 = 4 Ω, E2 = 6 V con R2 = 2 Ω (polo positivo verso A), un carico R3 = 4 Ω e un generatore di corrente I = 1 A entrante in A con in serie R4 = 10 Ω. La resistenza R4, in serie al generatore di corrente, non compare a denominatore:
\(U_{AB}=\frac{12\cdot 0.25 + 6\cdot 0.5 + 1}{0.25+0.5+0.25}=\frac{7}{1}=7\ V\)Le correnti di ramo sono I1 = (12 − 7)/4 = 1,25 A entrante in A, I2 = (6 − 7)/2 = −0,5 A (quindi 0,5 A escono da A verso il ramo di E2) e I3 = 7/4 = 1,75 A uscente da A. Verifica con la KCL: entrano 1,25 + 1 = 2,25 A, escono 0,5 + 1,75 = 2,25 A.
In generale, una volta nota la tensione UAB tra i due nodi, si ricavano facilmente le correnti di ogni ramo; il risultato si può sempre verificare con il metodo di Kirchhoff.
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